bayram adlı kullanıcının alanı

Sinyalin türevinin, sinyalin çok küçük zaman dilimlerindeki değişim hızını bulmakla aynı anlama geldiğini hatırlayalım.

Acaba sinyaldeki değişim hızı verilmiş olsa bu değişime neden olan sinyali bulabilir miyiz?

Bu sinyali arama işlemine integral bulma işlemi denir.

Örnek olarak daha önceleri hazırlayıp üzerinde konuştuğumuz tabloyu tekrar inceleyelim.

Yukarıdaki tabloda, ilk satır ile üçüncü satırı biliyor olalım. Acaba ikinci satırdaki değerleri bulabilir miyiz?

? işareti bir belirsizliği ifade etmektedir. O halde voltajın başlangıç değeri tabloda 0 olarak bilinmesine rağmen biz tersten giderken bunu bilemeyeceğiz demektir. Voltajın T=0 anındaki değere Vo diyelim ve bilinmeyen olarak kalsın. (İlk değer belirsizliği)

T = 1 sn anında türev +1v/sn  imiş yani Vo voltajı 1v artmış demektir. O halde T=1sn  anında voltajımız Vo+1 olacaktır.

T = 2 sn anında türev  +1v/sn  imiş yani  voltajmızı 1v artmış demektir. O halde T=2sn  anında voltajımız Vo+1+1 olacaktır.

T = 3 sn anında türev  +0v/sn  imiş yani  voltajımız 1v artmış demektir. O halde T=3sn  anında voltajımız Vo+1+1 +0 olacaktır.

T = 4 sn anında türev   -2v/sn  imiş yani  voltajımız 2v azalmış demektir. O halde T=4sn  anında voltajımız Vo+1+1 +0 -2 olacaktır.

Şimdi  Vo=0 için (bize birisi bu değeri versin) voltajın T nin değişik anlarındaki değerlerini bulmamız istendi. Bu değer çoğunlukla tarafımızdan bir şekilde bilinir yada bulunur, bilinmiyorsa Vo olarak kalır.

T=0sn de V=0 imiş. (Öyle dediler)

T=1sn de V=1

T=2sn de V=2

T=3sn de V=2

T=4sn de V=0

Bu değerlerle tablodaki ilk satırı karşılaştırsanız aynı olduğunu görürsünüz. Şu anda değişim hızından yararlanarak sinyalin orjinal durumunu yani değişim hızının integralini bulmuş olduk.

Değişim hızını ilgilenilen zaman aralığı ile çarparsak o aralıkta sinyaldeki artış bulunur. Bunu daha önceki artışlara ekleye ekleye orjinal sinyali bulmuş oluruz.(*)

Gerçek  örnek olarak sabit akım ile doldurulan kondansatörü inceleyelim. Bir kondansatörden sabit akım akıtılırsa kondansatör uçlarındaki voltaj düzgün (lineer artar). Bunu pek çoğumuz biliyor ve değişik uygulamalarda kullanıyoruz.

Türev bilgimizle bu olaya göz atalım.

I=C * dv/dt olduğunu biliyoruz. akım sabit ise (C de sabit) dv/dt sabit demektir.

dv/dt nin sabit olması ne demektir?  Voltajın herhangi bir anında, bu ana çok yakın bir anda tekrar bir voltaj ölçümü yapar ve voltajın değişim hızına bakarsak bunun sabit olduğunu görüyoruz demektir. Üstelik bu zamanın her yerinde sabit demektir.

(V1 - V2) / (T1-T2) zamanın her yerinde aynı ise  V1-V2 farkı diğer zamanlardaki farklarla aynı demektir. Buda sinyalin düzgün değiştiği anlamına gelir.

Örneğin 1ms artımlarla yaptığımız voltaj ölçümleri 1,2,3,4,5,6 v olsun. Takip eden herhangi iki voltaj arasındaki fark sabittir.

Dolayısıyla türev sabit ise düzgün bir artıştan söz edilebilir.

İsterseniz aynı örneği bir başka açıdan ele alalım.

Kondansatörün birimi sn /ohm olduğuna göre i akımı  dt (epsilon sn) sn sonunda voltajda,          dV = (1/C) * i * dt artışı gözlenecektir.(küçük d harfinin, değişkenin küçük artışı anlamına geldiğini hatırlayın)

Kondansatör i sabit akımıyla  şarj edildiğine göre voltajı şu şekilde bulabiliriz. Olayın başlangıcında kondansatör voltajı Vo olsun. Boş bir kondansatör denmiş olsaydı Vo = 0 olacaktı.

T=dt anında (epsilon saniye sonra) voltajdaki artım, (1/C) * i * dt olacaktır.

O halde dt sn sonra voltajımız Vo + (1/C) * i * dt olacaktır.

Bulunduğumuz zamandan itibaren tekrar dt sn sonra voltajdaki artım gene (1/C) * i * dt olacaktır.

O halde başlangıçtan 2x dt sn sonra voltajımız Vo + ((1/C)* i * dt) + ((1/C)* i * dt) olacaktır.

Bu işlemi zamanın n * dt anına kadar devam ettirirsek voltajımızın n * dt anındaki değerini

Vc = Vo+ (1/C) * n * i * dt

olarak buluruz. O halde voltajımız i*(1/C) eğimi ile artıyor demektir.

Burada Vo ilk değerdir. Biz ancak gerçek sinyali Vo değerini biliyorsak biliriz aksi halde DC bileşeni

bilinmeyen ancak Dc nin üstünde değişen bir sinyalden bahsedebiliriz.

Bir integral alan devrenin girişine sabit bir DC gerilim uygularsak integral devresi (integratör) çıkışında  zamanla düzgün artan bir voltaj elde ederiz. Giriş voltajını herhangi bir anda 0 yaparsak integratör çıkışı en son değerini saklar (hafızaya alır). Gene her hangi bir anda sabit DC  voltajını negatif değere götürür ve sabit bırakırsak bu kez integratör çıkışı azalmaya başlar.

DC gerilimde integratörün davranışı basitçe anlaşılmaktadır. Peki ya integratöre giren sinyal değişken bir sinyal ise, integratör çıkışındaki sinyal ne alama gelir.

İntegratöre giren sinyal, integratöre şu soruyu sorar. Ben  bir sinyalin değişim hızının zamana göre değişimiyim. Hadi bil bakalım ben hangi sinyalden türetildim.(Burada türetilmek türevi alındım demektir ve türeme buradan gelmektedir.)

İntegratör, sinyali  işler ve sinyale; işte sen şu anda çıkışımdaki sinyalin değişim hızısın der.

İntegratör giriş sinyalin o anki ani değerini sonsuz küçük zaman ile çarpar ve biraz evvelki çıkış sinyalinin ani değerine ekler ve  şimdiki sonuç bu der. Bu işlemi yaparken de bizim sonsuz küçük olarak düşündüğümüz (tam olarak haya dahi edemediğimiz)  manyak küçük sayının tam anlamıyla  kendisini kullanır. 100 Bin liraya satın aldığımız kondansatör bizim hayal dahi edemediğimiz o sonsuz küçük sayının noktadan sonra trilyon kere trilyon sonraki basamağını bildiği gibi bu basamağında sağındaki trilyonlarca basamağı biliyor bundan sonra gelenleri de ........

İntegral için, bir eğrinin grafiğinin altında kalan alanı bulma işlemi  de denir. Bu yorumu (*) satırını ipucu göstererek size bırakıyorum.

Görüldüğü gibi integral ve türev (aslında diferansiyel) ters işlemlerdir. (Toplama-çıkartma yada çarpma - bölme gibi)

İntegralin konsansatör ile ilişkisini integrali anlatırken örnek olarak ele aldık. Şimdi de Endüktansın integral ile ilişkisine bakalım ve daha öce yaptığımız tehlikelı deneyde 6H lik bobine 3v uygulanınca neden 1 sn sonunda bobinden akan akımın 500mA'e yükseldiğini inceleyelim.

V=L di/dt olduğunu türev konusundan biliyoruz.

di= (1/L)*V*dt yazabiliriz.

Bu bağıntı şöyle der. L değerli Endüktansın uçlarındaki gerilimin ani değeri V ise ve  dt (epsilon saniye) boyunca sabit kaldı ise akımda di artışı olur.

I akımını bulmak demek (1/L)*V*dt ifadesinin integralini almak demektir.

Şimdi T=0 anında I=0 biliyoruz. (Hatırlarsanız daha önce kondansatörde Vo bilinmiyordu bize veriliyordu, Şimdi biz Io değerini kendimiz bulduk, çekmecede duran tarafoyu masamıza koyduk uçlarına tel lehimledik bu esnada içinden hiç akım akmadığından eminiz o halde uçlarına pil bağladığımız andan biraz önce akımının sıfır olduğunu (başlangıç şartını, başlangıç değerini) biliyoruz.

Zamandaki sonsuz küçük artışı 1us (mikro saniye) alalım. Yani bu bizim epsilon saniye değerimiz olsun. 1 saniye sonuna kadar 1sn / 1us yani 1 milyon tane işlem yapmamız gerekir. Neyse başlayalım.

di= (1/L)*V*dt  bağıntısına göre; 3V kalem pil kullanmıştık

T=1us anında di=(1/6) * 3*1e-6=0.5e-6A lik akım artışı olur. Bunu sıfır olan ilk akıma ilave edersek T=1 us sonundaki akım 0.5e-6A olur. (0.5mikroamper.) Varan bir, kaldı 999999 hesap.

T=2us anında, T=1us anına göre di=(1/6) * 3*1e-6=0.5e-6A lik akım artışı olur. Bunu T=1us anındaki akıma ilave edersek T=2 us sonundaki akım 1e-6A olur. (1 mikroamper.) Varan iki, kaldı 999998 hesap.

T=3us anında, T=2us anına göre di=(1/6) * 3*1e-6=0.5e-6A lik akım artışı olur. Bunu T=2us anındaki akıma ilave edersek T=3 us sonundaki akım 1.5e-6A olur. (1.5 mikroamper.) Varan üç, kaldı 999997 hesap.

........................................... devam edersek

T=1miyon us anında, T=999999us anına göre di=(1/6) * 3*1e-6=0.5e-6A lik akım artışı olur. Bunu T=999999us anındaki akıma ilave edersek T=1 milyon us sonundaki akım 0.5A olur. (yarım amper.)

Gerçektende   di= (1/L)*V*dt  matematiksel bağıntısında iki tarafında integrali alınırsa (V sabit)

I=(V/L)*T bulunur. Aman ha, bu bağıntıyı DC voltaj haricindeki voltajlar için kullanmayın, eğer kullanacak sanız örneğin V=sin(t) için di= (1/L)*sin(t)*dt   bağıntısının integralini bulmalısınız.

Kaldığımız yere geri döner ve değerleri I=(V/L)*T bağıntısında yerlerine koyarsak.

V=3V L=6H T=1sn   I=0.5A bulunur.

İntegral ve Türevin uygulama alanları

Türev

Bir sinyalin değişim hızı ile ilgili bilgi edinmemizi sağlar. Yüksek frekanslı sinyaller türev alıcı çıkışında büyük genlikli sinyaller verir, tersine alçak frekanslı sinyaller düşük genlikli sinyaller verir.

Türev almak yüksek frekans geçiren filtre yapmak demektir. Frekans arttıkça çıkış genliği de artar. Frekans sonsuza giderken kazanç da sonsuza gider.

Sinyalde değişim olmazsa türev sıfır olur buda sinyalin tepe yaptığı noktaları bulmamıza kolaylık sağlar. Sinyalin kıvrım yaptığı yerler (yükselip düşüşe geçtiği yada tersi) kolayca anlaşılır.

Türev sinyaldeki anormallikleri ön plana çıkartır.

Sabit kazanç, integral ve türev  birlikte kullanılarak karmaşık filtrelerin yapılması mümkün olur.

Fazda 90 derece ilerleme sağlar.

İntegral

Sinyaldeki yüksek frekanslı bileşenlerin bastırılmasını sağlar. (Sinyalin ortalaması ile orantılı sinyal üretir.)

Çok küçük genlikli, DC yada düşük frekanslı sinyallerin zaman içinde yüksek genlikli sinyaller üretmesini sağlar.

Filitre devrelerinde kullanılır.

Fazda 90 derece gerileme sağlar.

İşlemcilerde türev ve integral uygulamalarında esaslar

Öncelikle daha önceleri sıkça bahsettiğimiz sonsuz küçük tanımını tekrar hatırlayalım. Sıfıra çok yakın çok küçük sayıya sonsuz küçük sayı demiştik. Bir sinyali sonsuz küçük zaman aralıklarıyla ölçmek demek, sinyali çok sık aralıklarla ölçmek demektir. Mikroişlemcili sistemlerde analog sinyaller, ADC ile sayısal değerlere çevrilir. İşlemcinin sinyal genliğini öğrenmek için ADC yi başlatması ve içeriğini okuması işlemine, işlemcinin sinyalden örnek alması denir.

Bir sinyal digital ortamda işlenecek ise  örnek alma hızı çok yüksek olmalıdır. Tabi ki bunun teknik sınırları vardır.

1. ADC nin çevrim hızı

2. İşlemcinin ADC den okuduğu veriyi işleme süresi

Bir sinyali işlemek için Shanon örnekleme teorisine göre, uğraşılan sinyalin en yüksek frekanslı bileşeninin frekansının 2 katı hızla örnek almak yeterlidir. Ancak uygulamada 10 yada daha çok katı hızda örnek alınır.

Örneğin EKG (Kalp sinyallerinin izlenmesi) için örnekleme hızımız ne olmalıdır.

Kalp dakikada 80 kez atar, Bu yaklaşık 0.75 sn lik peryda sahşp sinyal  demektir. Bunun 10 katı hızla örnek almalıyız. ACABA DOĞRUMU ?

Kalp sinyali peryodu 0.75 sn olabilir ancak bu sinyalin 1/0.75 =1.4 Hz olduğu anlamına gelmez. Shanon teorisi sinyalin, en yüksek frekanslı bileşeninin 2 katı hızda örnek almamızı söyler. Kalp sinyali karmaşık bir sinyaldir ve bu sinyal yüksek frekanslı bileşenler içerir. (Ben sinyali incelemedim ama en azından 100Hz civarında bileşenler olduğunu tahmin ediyorum). Örnek olarak 100 Hz bileşen varsa örnekleme hızımız en az 200Hz olmalıdır.

Uygulamada 100*10=1KHz kullanılır.

Bu nedenle örnekleme hızını tespit ederken sinyalin en yüksek bileşenleri hakkında fikir sahibi olmak gerekir.

Peki  çok yüksek hızlarla  örnek alsak olmaz mı?

Örneğin sinyalimin en yüksek frekanslı bileşeni 100Hz ise 10000Hz ile örnek alsam ?

Eğer 8 bit ADC kullanıyorsanız yüksek hızlarla ölçüm yapmanın hiç bir mantığı yoktur.Çünkü sinyaldeki çok küçük değişimler ADC nin bit sayısından dolayı hep aynı sayıya dönüşür (sinyal kırpılır). Eğer sinyaliniz düşük frekanslı ise buna karşılık yüksek örnekleme hızıyla örnekleme yapacaksanız ADC çözünürlülüğü de yüksek olmalıdır. Bu da beraberinde maliyet problemi getirir.

Dolayısı ile ADC çözünürlüğü ve örnekleme hızının tespiti çok önemlidir.

İşlemcinin ADC yi gelişigüzel zamanlarda okuması yerine sabit zaman aralıklarında okuması gerekir. Bu tür örnek almaya periyodik örnek alma denir. Bunun için işlemcinin içindeki timerlardan yararlanılır. Periyodik örnek alma, ayrık verilerle uğraşırken işlemlerde kolaylıklar sağlar. (Ayrık veriler için geliştirilmiş matematiksel teknikler,  genellikle ölçümlerin periyodik yapıldığını varsayar.)

Şayet, incelediğimiz sinyalin çok yüksek frekanslı bileşenleri bizi ilgilendirmiyorsa, ADC önüne söz konusu yüksek frekanslı sinyalleri bastıracak alçak geçiren filtre bağlamak gerekir.

İşlemcilerde türev uygulaması

Türev alma konusunda bir kaç teknik vardır. Biz bunlardan sadece birisini inceleyeceğiz.

A, ADC den okunan değer.

 B ADC den Bir önce okunan değer.

T  örnek alma zamanı

TRV ADC den okunan sinyalin türevinin değeri

olmak üzere aşağıdaki yöntemle sinyalin türevi kolayca alınır.

Döngü:.

ADC yi oku A

TRV = (A - B) / T

B = A

T kadar bekle

Goto Döngü

Bu program parçacığı Timer int. içine yazılırsa türev, işlemci üzerinde koşturulan diğer programların işlenme hızından bağımsız olarak düzgün olarak hesaplanmış olacaktır.

İşlemcilerde integral uygulaması

İntegral alma konusunda bir kaç teknik vardır. Biz bunlardan sadece birisini inceleyeceğiz.

A, ADC den okunan değer.

T  örnek alma zamanı

INTG  den okunan sinyalin integrali

olmak üzere aşağıdaki yöntemle sinyalin integrali kolayca alınır.

Döngü:.

ADC yi oku A

INTG = INTG + (A *  T)

T kadar bekle

Goto Döngü

Bu program parçacığı Timer int. içine yazılırsa integral, işlemci üzerinde koşturulan diğer programların işlenme hızından bağımsız olarak düzgün olarak hesaplanmış olacaktır.

Burada INTG değişkeninin uzunluğuna dikkat etmek gerekir, yüksek genlikli düşük frekanslı sinyaller . INTG = INTG + (A *  T) bağıntısı gereği integre edilirken sonuç, INTG değişkenine sığmayıp taşabilir.

Son olarak  şu kısa açıklamayı yaparak yazımızı bitirelim.

İşlemciler lojik devrelerin yerini alarak sayısal devrelerin daha küçük alana sığdırılmasını, tasarımdaki hataların genellikle  donanımda büyük değişiklikler yapmadan sadece   yazılımı değiştirerek giderilmesini sağlamışlardır. Bu büyük bir avantajdır.

Teknolojik ilerlemeler sayesinde artan işlemci gücü, analog sinyallerin de digital ortamda işlenebilmesine olanak sağlamış ve mikroişlemcili sistemlerin  avantajlarından analog sistemlerde de yararlanılması mümkün olmuştur.

Bu sayede digital teknoloji günlük hayatta her yerde karşımıza çıkmaktadır.

Sayısal sinyal işleme her ne kadar mikroişlemcilerle (MPU) yapılabiliyorsa da program yazım teknikleri klasik işlemci yazım tekniklerinden farklı olarak matematiksel denklemlerin (fark denklemlerinin). çözümü esasına dayanır. İşlemlerde hız ve kolaylık sağlayan sinyal işleme çipleri  (DSP) mikroişlemcilerin özel versiyonlarıdır.

Sayısal sinyal işleme teknikleri matematiğin gerçek uygulaması olup teknoloji ne kadar ilerlerse ilerlesin  gerek işlemcinin  sınırlı işlem hızı gerek sonsuz küçük (epsilon) sayısı yeterince küçük alınamaması gerek se  ADClerin sonsuz bit uzunluğa çıkmalarının mümkün  olmaması nedeniyle sayısal sinyal işleme tekniği  analog devrelerin hızına ve doğruluğuna ulaşamaz.   Dolayısı ile kondansatör ve bobin içeren devreler, uzun yıllar cazip olmaya devam edecektir.

Son